Je ne peux malheureusement pas apporter d’éléments nouveaux sur la vie de Jean Robert Argand (1768-1822), ce Genevois jacobin qui s’en vint avant 1800 vivre à Paris comme comptable, et dont il ne reste aucun exemplaire du livre sorti en 1806 : Essai sur une nouvelle manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. Le dernier chapitre de cet ouvrage porte justement sur ce que l’on appelle aujourd’hui le théorème fondamental de l’Algèbre. Cette grandiose appellation cache quelque chose de dérisoire, en ce sens qu’elle omet de dire qu’il y faut un minimum d’Analyse. Je voudrais montrer que c’est Argand, le mathématicien volontiers qualifié d’amateur, qui forgea l’outil même de l’analyse (sous la forme topologique du plan d’Argand), mais n’en commit pas moins une erreur, à peu près reproduite par Cauchy, et corrigée bien tard par Darboux en 1872, à l’orée de ce qui allait devenir la topologie. Un autre aspect dérisoire du théorème est que le nom cache une rivalité franco-allemande exacerbée par la guerre de 1870, car on aurait bien voulu d’un côté du Rhin que le théorème portât le nom de Gauss, alors que de l‘autre côté on revendiquait d’Alembert. De fait, Argand peut se situer entre une démonstration élémentaire de Laplace (1795), créant le genre passager de l’Analyse algébrique, et une deuxième démonstration de Gauss (1815), qui de fait est une géniale formalisation de la démonstration de Laplace.
Référence : Jean Dhombres, Carlos Alvarez, Une histoire de l’invention mathématique, Paris, Hermann, 2012.