Pour étudier un problème sur un domaine quelconque du plan, une solution est de le transformer en un problème sur un domaine simple, comme le disque. L'existence et le nombre de telles transformations dépendent de la rigidité du domaine, ie du nombre de "symétries". Je présenterai deux résultats fondamentaux dans cette direction : le théorème de représentation conforme de Riemann et un contre-exemple dû à Poincaré. J'essaierai ensuite d'expliquer comment ces résultats conduisent à des questions toujours d'actualité en analyse complexe.