{"id":12090,"date":"2020-11-18T08:52:11","date_gmt":"2020-11-18T07:52:11","guid":{"rendered":"https:\/\/www3.unifr.ch\/alma-georges?p=12090"},"modified":"2020-11-18T13:16:58","modified_gmt":"2020-11-18T12:16:58","slug":"la-complexite-generee-par-la-simplicite-fascine","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.unifr.ch\/alma-georges\/articles\/2020\/la-complexite-generee-par-la-simplicite-fascine","title":{"rendered":"\u00abLa complexit\u00e9 g\u00e9n\u00e9r\u00e9e par la simplicit\u00e9 fascine\u00bb"},"content":{"rendered":"

Le Nobel de physique 2020 a \u00e9t\u00e9 (co-)d\u00e9cern\u00e9 \u00e0 Roger Penrose pour ses travaux sur les trous noirs. Mais si le nom de ce math\u00e9maticien et physicien britannique vous dit quelque chose, c\u2019est qu\u2019il a fait une d\u00e9couverte majeure dans les ann\u00e9es 1970. Les pavages de Penrose ont en effet ouvert la voie aux recherches sur les quasi-cristaux. Les explications d\u2019Enrico Le Donne, professeur de math\u00e9matiques \u00e0 l\u2019Unifr.<\/strong><\/p>\n

<\/div>\nDurant les d\u00e9cennies d\u2019apr\u00e8s-guerre, les salles de bains, halls d\u2019entr\u00e9e et cuisines des logements modernes affichaient fi\u00e8rement leur carrelage sobre et immacul\u00e9, blanc ou clair de pr\u00e9f\u00e9rence, et surtout facile \u00e0 entretenir. Depuis quelques ann\u00e9es, virage \u00e0 180 degr\u00e9s: les sites web de d\u00e9coration int\u00e9rieure font la part belle aux carreaux g\u00e9om\u00e9triques et multicolores, agenc\u00e9s en motifs complexes.<\/p>\n
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\nCuisine t\u00e9moin 2020<\/em><\/h6>\n
<\/div>\nUne mode \u00e9ph\u00e9m\u00e8re? Certainement pas. \u00abL\u2019art du pavage est solidement ancr\u00e9 dans l\u2019histoire, o\u00f9 il appara\u00eet r\u00e9guli\u00e8rement dans des contextes religieux et c\u00e9r\u00e9moniels\u00bb, indique Enrico Le Donne, professeur au D\u00e9partement de math\u00e9matiques de l\u2019Universit\u00e9 de Fribourg (Unifr). Son confr\u00e8re David Freeman, professeur de math\u00e9matiques au Blue Ash College de l\u2019Universit\u00e9 de Cincinnati et titulaire d\u2019un dipl\u00f4me artistique, compl\u00e8te: \u00abL\u2019\u00eatre humain trouve du plaisir esth\u00e9tique et philosophique dans une certaine forme d\u2019ordre, qui ne rime pas pour autant avec monotonie.\u00bb Les pavages poss\u00e8dent justement cette double qualit\u00e9: agenc\u00e9s de fa\u00e7on rigoureuse, les carreaux n\u2019en forment pas moins des motifs aussi complexes que surprenants. \u00abCe mariage entre une structure ordonn\u00e9e et un fort potentiel d\u2019expression dynamique a un charme quasi transcendant.\u00bb<\/p>\n

Puzzle g\u00e9ant
\n<\/strong>Il en est d\u2019autres que les carrelages \u2013 ou plus pr\u00e9cis\u00e9ment l\u2019art du pavage \u2013 n\u2019ont cess\u00e9 de fasciner au fil des si\u00e8cles: les math\u00e9maticiens. Pour m\u00e9moire, le pavage consiste \u00e0 recouvrir une portion de plan avec des carreaux, par exemple des polygones, sans qu\u2019il y ait chevauchement. \u00abIl est notamment possible de recouvrir le sol de votre cuisine de triangles, carr\u00e9s ou rectangles sans que ces derniers ne se chevauchent\u00bb, note Enrico Le Donne. \u00abMoins commune, l\u2019utilisation d\u2019hexagones est \u00e9galement possible.\u00bb A l\u2019inverse, \u00abpersonne ne marchera jamais sur un carrelage constitu\u00e9 uniquement de pentagones, ce pour une raison toute simple: un tel pavage est impossible!\u00bb.<\/p>\n

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\nPavage compos\u00e9 de pentagones et d’hexagones<\/em><\/h6>\n
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\u00abLa constatation qu\u2019il y avait un probl\u00e8me avec les pentagones remonte \u00e0 tr\u00e8s loin; les Grecs anciens le savaient, Kepler (ndlr: un c\u00e9l\u00e8bre astronome allemand n\u00e9 en 1571) le savait aussi\u00bb, poursuit le math\u00e9maticien. En effet, en raison des angles figurant \u00e0 leurs cinq coins, ces polygones se chevauchent forc\u00e9ment si on les utilise pour paver un plan. Or, \u00abde tous temps, les math\u00e9maticiens se sont int\u00e9ress\u00e9s aux casse-t\u00eates g\u00e9om\u00e9triques, parfois pour des raisons pratiques, parfois aussi pour des raisons purement esth\u00e9tiques et\/ou th\u00e9oriques\u00bb. Pour Kepler, l\u2019impossibilit\u00e9 de construire un pavage r\u00e9gulier \u00e0 partir du pentagone, une figure harmonieuse par excellence, constituait un scandale g\u00e9om\u00e9trique. Le scientifique allemand se lan\u00e7a dans une \u00e9tude syst\u00e9matique et parvint \u00e0 \u00e9laborer un pavage avec une sym\u00e9trie pentagonale, se contentant d\u2019un nombre limit\u00e9 d\u2019autres formes.<\/p>\n

Durant les si\u00e8cles suivants, le nombre de ces autres formes ne cessa d\u2019\u00eatre r\u00e9duit par les scientifiques. \u00abMais il fallut attendre les ann\u00e9es 1970 pour qu\u2019un vrai coup de tonnerre ait lieu\u00bb, poursuit Enrico Le Donne. C\u2019est l\u00e0 qu\u2019entre en sc\u00e8ne Roger Penrose. En partant d\u2019un pentagone et en le d\u00e9construisant, le math\u00e9maticien et physicien britannique est parvenu \u00e0 r\u00e9duire \u00e0 deux le nombre de carreaux diff\u00e9rents n\u00e9cessaires au pavage non p\u00e9riodique (c\u2019est-\u00e0-dire sans r\u00e9p\u00e9tition compl\u00e8te du m\u00eame motif) du plan. \u00abIl a d\u00e9velopp\u00e9 un pavage avec la curieuse propri\u00e9t\u00e9 de ne jamais se r\u00e9p\u00e9ter, de continuellement changer. Il a \u00e9labor\u00e9 une r\u00e8gle.\u00bb Concr\u00e8tement, le scientifique a mis sur pied un algorithme permettant de d\u00e9finir l\u2019emplacement de chaque carreau. \u00abA l\u2019image d\u2019un puzzle, les pavages de Penrose sont caract\u00e9ris\u00e9s par des r\u00e8gles locales, qui sp\u00e9cifient \u2013 via un code couleur – comment deux pi\u00e8ces doivent \u00eatre juxtapos\u00e9es.\u00bb<\/p>\n

Quasi-cristaux et prix Nobel
\n<\/strong>Les pavages de Penrose (Penrose tiling) ont g\u00e9n\u00e9r\u00e9 beaucoup d\u2019enthousiasme. Du point de vue artistique, David Freeman rel\u00e8ve \u00ableur dynamisme visuel et leur \u00e9l\u00e9gante sym\u00e9trie\u00bb. Du point de vue math\u00e9matique, \u00abils constituaient une surprise, quelque chose d\u2019inattendu, ce qui a toujours fascin\u00e9 les math\u00e9maticiens\u00bb, indique pour sa part Enrico Le Donne. Il cite notamment le fait que ces pavages pr\u00e9sentent une sym\u00e9trie de rotation d\u2019ordre cinq, \u00abun ph\u00e9nom\u00e8ne relativement exotique\u00bb.<\/p>\n

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\nStructure m\u00e9tallique rappelant le mercure<\/em><\/h6>\n
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Mais ce n\u2019est pas tout. \u00abDix ans apr\u00e8s la d\u00e9couverte de Penrose, des pavages similaires ont \u00e9t\u00e9 trouv\u00e9s dans la nature\u00bb, poursuit le professeur de l\u2019Unifr. En 1982, le sp\u00e9cialiste des mat\u00e9riaux isra\u00e9lien Dan Schechtman a d\u00e9couvert un alliage m\u00e9tallique dans lequel \u00ables atomes \u00e9taient arrang\u00e9s selon une version tridimensionnelle des pavages de Penrose\u00bb. Cette avanc\u00e9e scientifique a ouvert la voie \u00e0 la recherche sur les quasi-cristaux et a valu \u00e0 Dan Schechtman le prix Nobel de chimie en 2011. D\u2019autres aspects des pavages de Penrose apparaissent dans la nature, note Enrico Le Donne. C\u2019est notamment le cas de l\u2019autosimilarit\u00e9, soit le fait que ces pavages pr\u00e9sentent la m\u00eame structure \u00e0 n\u2019importe quelle \u00e9chelle. \u00abQue vous les observiez de tout pr\u00e8s ou de loin, les m\u00eames motifs dominants apparaissent.\u00bb La nature regorge d\u2019\u00e9l\u00e9ments pr\u00e9sentant une autosimilarit\u00e9, \u00abqui vont des plantes aux rivages\u00bb.<\/p>\n

Simples et complexes
\n<\/strong>Pourquoi donc a-t-il fallu attendre les ann\u00e9es 1980 pour que les particularit\u00e9s des pavages de Penrose soient observ\u00e9es dans la nature? \u00abComme dirait le math\u00e9maticien John Hunton, il s\u2019agit d\u2019une question philosophique qui touche la nature du langage.\u00bb Ou plus simplement, \u00abon ne les a pas vues avant parce qu\u2019on ne les a pas cherch\u00e9es, ou du moins parce qu\u2019on n\u2019avait pas encore les outils pour les reconna\u00eetre\u00bb. Il s\u2019agit l\u00e0 d\u2019un exemple qui montre bien que \u00abla science ne peut pas voir ce qu\u2019elle n\u2019a pas le langage pour d\u00e9crire\u00bb, poursuit Enrico Le Donne.<\/p>\n

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\nDame voil\u00e9e ou Phallus indusiatus \u2013 champignon du nord de l’Australie<\/em>
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Sa d\u00e9couverte, Roger Penrose a veill\u00e9 lui-m\u00eame \u00e0 ce qu\u2019elle soit largement m\u00e9diatis\u00e9e. Plusieurs artistes contemporains, par exemple Clark Richert, se sont d\u2019ailleurs inspir\u00e9s de ses pavages dans leurs \u0153uvres. Cela n\u2019enl\u00e8ve rien \u00e0 l\u2019apport du scientifique britannique, que ce soit sur le terrain des math\u00e9matiques ou des arts visuels. \u00abPenrose est parvenu \u00e0 attirer notre attention sur la mani\u00e8re dont des formes exotiques de sym\u00e9trie peuvent \u00eatre engendr\u00e9es par une construction g\u00e9om\u00e9trique relativement simple.\u00bb Or, \u00abl\u2019id\u00e9e de complexit\u00e9 g\u00e9n\u00e9r\u00e9e par la simplicit\u00e9 est aussi attractive pour les profanes que pour les math\u00e9maticiens\u00bb, conclut le professeur de l\u2019Unifr. A d\u00e9faut de prix Nobel de math\u00e9matiques, Roger Penrose aura eu l\u2019honneur de se voir (co-)d\u00e9cerner celui de physique en octobre 2020 \u2013 soit \u00e0 l\u2019\u00e2ge de 89 ans \u2013 pour ses recherches sur les trous noirs. Une belle mani\u00e8re de conclure une carri\u00e8re scientifique particuli\u00e8rement prolifique.<\/p>\n

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