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Les modèles mathématiques en hémodialyse

Bel exemple de collaboration scientifique! Un médecin et un mathématicien se penchent ensemble sur la compréhension mathématique de l'hémodialyse et améliorent ainsi le déroulement de la dialyse et l'assistance aux patients.

Le traitement par hémodialyse s'adresse aux insuffisants rénaux et nous rappelons quelques notions élémentaires nécessaires à la compréhension de la démarche. Situés derrière le péritoine, de part et d'autre de la colonne vertébrale, les reins sont traversés par un flux de sang, qui vient de l'aorte et se déverse dans la veine cave. Ce flux, de l'ordre de 1200 ml/min pour un adulte, peut varier considérablement et correspond à quelque 20 pourcent du débit cardiaque. Ils maintiennent l'équilibre du bilan hydrosodé, règlent la concentration en électrolytes du plasma sanguin et débarrassent l'organisme de produits acides du métabolisme; ils éliminent les déchets, et notamment l'urée, produit final du catabolisme protidique. L'arrêt de leur fonctionnement, qu'il soit brutal ou progressif, menace le malade de façon vitale: la rétention de sel et d'eau entraîne une expansion des compartiments liquidiens. La surcharge intra-vasculaire qui en résulte augmente notamment la pression artérielle; hémorragie cérébrale, insuffisance cardiaque et infarctus en sont les conséquences bien connues. Les produits toxiques s'accumulent, responsables d'un cortège de manifestations constituant le "syndrome urémique" (fatigue, perte de l'appétit, nausées, difficultés respiratoires). Le traitement par dialyse permet de corriger le volume liquidien et de ramener sa composition vers des zones normales, d'éliminer des produits toxiques grâce à des membranes artificielles ou à la membrane péritonéale qui permettent des transferts d'eau et de solutés. Il n'élimine pas mais réduit les conséquences des troubles endocriniens. Principe de la dialyse Il est intéressant de rappeler l'expérience de Graham (1805-1869). Ce chercheur étudiait la "diffusibilité" de différentes substances. Dans une éprouvette, il superposait une solution aqueuse du corps considéré et de l'eau. Des bases, des acides minéraux, des sels et du sucre diffusaient rapidement dans le solvant. D'autres, comme la gélatine, la gomme arabique et 1'albumine, n'y pénétraient que très lentement et se présentaient comme une espèce de colle (d'où le nom de colloïdes). Graham observa que la séparation était plus nette en interposant une membrane entre la solution et le solvant et dénomma "dialyse" ce dernier procédé. Les membranes de dialyse sont généralement poreuses. Les particules qui les traversent diffusent dans la solution; les grosses molécules (protéines) sont freinées ou arrêtées, alors que les petites molécules (urée, créatinine...) et les ions (Na+, K+, Ca++, CI-...) passent facilement. Cet effet tamis joue un rôle très important dans le modèle conçu par le clinicien. La perméabilité sélective fait naturellement appel à d'autres phénomènes, tels que la charge électrique, les propriétés de solubilité etc. La facilité de passage qu'offre une membrane à une substance en solution ou "coefficient de dialyse" est déterminée de façon empirique dans les conditions mêmes d'utilisation. Diffusion Lorsque deux solutions différentes sont placées de part et d'autre d'une membrane perméable, chaque soluté passe, par diffusion, de la solution où sa concentration est élevée vers celle où elle est basse. La vitesse de passage dépend du gradient de concentration et de la perméabilité de la membrane. Le maximum du transfert correspond donc au maximum du gradient de concentration qu'il faudra conserver afin de maintenir l'efficacité du procédé d'extraction. Pour ce faire, dans un système où les deux solutions sont en mouvement et qui correspond au principe utilisé en hémodialyse schéma 1, le gradient est maintenu élevé par renouvellement des surfaces liquidiennes qui touchent la membrane. La perméabilité dépend bien sûr de la nature de cette membrane (cuprophane, acétate de cellulose, polyacrylonitrile...) et, pour une membrane donnée, de la nature du soluté et notamment de son poids moléculaire. Remarques sur la composition du dialysat Si la composition du plasma est relativement fixe, celle du dialysat préparé pour l'hémodialyse est modifiable et permet d'orienter le transfert de chaque soluté. Ainsi, dans le bain de dialyse, une concentration nulle en urée et en créatinine favorise leur extraction alors qu'une concentration en calcium plus élevée que celle du plasma engendre un flux diffusif inverse. Quant au sodium, l'élément charnière dans les variations de volume et d'osmolalité des différents compartiments de l'organisme (plasmatique, interstitiel, cellulaire), sa concentration est à adapter à chaque malade en tenant compte de son contexte pathologique. Cependant, la concentration adéquate reste un problème clinique loin d'être résolu, pour lequel l'élaboration d'un modèle mathématique, si délicate qu'elle soit, paraît indispensable. En ce qui concerne le potassium, si l'élimination par voie rénale est nulle, une soustraction artificielle est nécessaire afin d'éviter les risques mortels d'une hyperkaliémie. Les modèles mathématiques Jusqu'au milieu des années 60, la recherche touchant à l'insuffisance rénale terminale visait la survie du malade. Celle-ci atteinte, il fallait en améliorer les conditions. Dès lors s'est posé le problème complexe de l'évaluation et de l'adaptation du traitement à chaque malade. Le modèle de la cinétique de l'urée Dans les années 70, Gotch et Sargent, s'appuyant sur un modèle mathématique, proposent de déterminer deux paramètres individuels très utiles aux cliniciens. Il s'agit du volume de distribution de l'urée assimilé à l'eau totale du corps et du taux de catabolisme protidique. Ce modèle, connu sous le nom de "cinétique de l'urée (cu)" a permis une amélioration de la thérapeutique. Le modèle de la quantification directe de la dialyse Dans les années 80, une approche différente a été proposée par Malchesky et appelée quantification directe de la dialyse (qdd). Au contraire de la cinétique de l'urée (cu) qui se propose de suivre l'évolution du système à chaque époque en s'appuyant sur le bilan instantané de l'urée, la quantification directe de la dialyse (qdd) se contente des bilans globaux sur chaque phase. Le prix à payer est celui du contrôle des sorties globales par la récolte du dialysat total. Comparaison des deux modèles Les deux approches proposent l'estimation des mêmes paramètres. Cependant les résultats obtenus suivant (cu) ou (qdd) divergent au-delà des erreurs de mesure. Les travaux de G. Felley et de J.P. Gabriel ont mis en évidence la superiorité de (qdd). Toutefois, un inconvénient majeur réside dans la récolte du dialysat dont le volume dépasse 100 litres pour une seule séance. Une telle opération se révèle imprécise et difficile dans un contexte clinique courant. En collaboration avec la maison CIPOSA, les auteurs ont développé un diviseur de flux schéma 2 travaillant en continu et permettant la récolte d'un échantillon, un vingtième, représentatif du volume et de la composition du dialysat total. L'usage de ce système rend aisée l'application de la méthode (qdd) et permet de plus - ce qui n'était guère possible auparavant - la quantification des transferts de masse de nombreux solutés lors d'une hémodialyse. L'évaluation de l'appareil est en cours dans plusieurs centres universitaires. Gilbert Felley et Jean-Pierre Gabriel     * Nous présentons ici un travail qui résulte de la collaboration entre le docteur Gilbert Felley de l'Hôpital Cantonal et le Professeur Jean-Pierre Gabriel de l'Institut de Mathématiques de l'Université de Fribourg. Les auteurs se sont penchés sur une compréhension mathématique du traitement par hémodialyse qui aboutit notamment à une réalisation industrielle avec la firme CIPOSA SA de Saint-Blaise.   schéma 2 - Coupe du diviseur de flux 1. dialysat "usé"; 2. sélecteur (évacuation directe), 3. tube d'évacuation directe, 4. tube d'entrée du dialysat, 5. résevoir cylindrique transparent, 6. filtre, 7. et 10. trous calibrés, chéneau à trous de récupération, 9. conduite d'évacuation du dialysat "usé", 11. chéneau de récupération du trou isolé, 12. conduite de l'échantillon de dialysat récupéré, 13. récipient de l'échantillon récupéré (1/20 du dialysat total soit 5 à 6 litres). Photo : Installation pour l'hémodialyse à l'Hôpital Cantonal de Fribourg. A gauche le diviseur de flux.